2019年南京信息工程大学博士研究生招生入学考试考试大纲-偏微分方程

南京信息工程大学博士研究生招生入学考试

考试大纲

科目代码：3024

科目名称：偏微分方程

第一部分   课程目标与基本要求

一、课程目标

“偏微分方程”课程是现代数学的一个重要分支，在微分几何，物理学，计算数学，计算机图形学和金融数学等学科中都有许多重要的应用。通过该课程的学习，学生能系统地掌握有关偏微分方程的基本理论和求解偏微分方程的各种技巧，较快地了解近代偏微分方程理论的一些重要的结果与常用的方法，为接触该领域中的新成果提供必要的准备。

二、基本要求

“偏微分方程”课程考试的主要内容为偏微分方程基本概念、三类典型方程的导出、偏微分方程的定解问题及其适定性研究、解的叠加原理等。同时要求考生了解偏微分方程研究的现代基本理论（广义函数理论、Sobolev空间理论等），理解和掌握其在椭圆、双曲、抛物型方程研究中的应用，包括应用这些理论研究定解问题的古典解、弱解的适定性以及正则性的方法。

第二部分   课程内容与考核目标

一、偏微分方程的一般理论

1.理解和掌握偏微分方程的基本概念、特征与分类；

2.掌握Fourier变换及广义函数的概念和基本性质；

3.理解和掌握偏微分方程古典解、广义解以及定解问题的适定性等概念；

4.理解和掌握三类典型线性偏微分方程（波动方程、热传导方程、位势方程）的导出。

二、波动方程

1.理解和掌握一维波动方程的特征线法及初值问题解的D’Alembert公式，了解其物理意义；

2.理解和掌握三维波动方程的球平均法及初值问题解的Kirchhoff公式，了解其物理意义；

3.理解和掌握二维波动方程的初值问题和降维法及初值问题解的Poisson公式；

4.掌握解的线性叠加原理及Fourier变换方法求解波方程初值问题；

5.掌握波动方程初边值问题的分离变量法；

6.理解和掌握依赖区域、决定区域、影响区域、特征维以及波的惠更斯（Huyge）原理等概念；

7. 理解和掌握双曲方程中的能量方法。

三、热传导方程

1.理解和掌握Fourier变换求解热传导方程及初值问题解的Poisson公式，理解热传导方程基本解的概念；

2.掌握一维热传导方程初边值问题的分离变量法；

3.理解和掌握热传导方程的极值原理，能够应用热传导方程的极值原理来证明定解问题解的唯一性和稳定性；

4.理解和掌握热传导方程的大模估计和能量模估计（能量方法），以及用能量方法讨论初（边）值问题解的唯一性和稳定性。

四、位势方程

1.掌握Poisson方程边值问题的分类；

2.掌握调和函数的基本性质，如中值公式、极值原理等；

3.理解和掌握位势方程的极值原理，能够应用极值原理来证明定解问题解的唯一性和稳定性；

4.理解和掌握位势方程的大模估计和能量模估计（能量方法），以及用能量方法讨论初边值问题解的唯一性和稳定性。

5.理解Sobolev空间的基本概念、性质，熟悉嵌入定理和迹定理，掌握变分问题的解的存在唯一性。

五、二阶偏微分方程的分类和总结

1.理解和掌握二阶偏微分方程的分类（椭圆、抛物、双曲）及其基本性质；

2.理解和掌握基于泛函分析、Sobolev空间理论的能量方法，以及极值原理，在三类方程中弱解的存在性、唯一性、正则性的应用。

第三部分   有关说明与实施要求

一、考试目标的能力层次的表述

本课程对各考核点的能力要求一般分为三个层次用相关词语描述：

较低要求——了解；

一般要求——理解、熟悉、会；

较高要求——掌握、应用。

一般来说，对概念、原理、理论知识等，可用“了解”、“理解”、“掌握”等词表述；对计算方法、应用方面，可用“会”、“应用”、“掌握”等词。

二、命题考试的若干规定

1．本课程的命题考试是根据本大纲规定的考试内容来确定的，根据本大纲规定的各种比例(每种比例规定可有3分以内的浮动幅度，来组配试卷，适当掌握试题的内容、覆盖面、能力层次和难易度)。

2．各内容考题所占分数大致如下：

内容一  20％

内容二  20％

内容三  20％

内容四  20％

内容五  20％

3．其难易度分为易、较易、较难、难四级，每份试卷中四种难易度，试题分数比例一般为2：3：3：2。

4．试卷中对不同能力层次要求的试题所占的比例大致是：“了解(知识”占15%，“理解(熟悉、能、会)”占40%，“掌握(应用)”占45%。

5．试题主要题型为解答题和证明题两种题型。

6．考试方式为闭卷笔试。考试时间为180分钟，试题主要测验考生对本学科的基础理论、基本知识和基本技能掌握的程度，以及运用所学理论分析、解决问题的能力。试题要有一定的区分度，难易程度要适当。